2.2 Cálculo de Probabilidades Mediante la Curva
Para calcular probabilidades con variables que siguen la distribución normal se usan tablas. Pero, puesto que sería imposible tener una tabla para cada posible distribución normal, solamente la tenemos para la distribución normal estándar, es decir, para la N( 0 , 1 ).
Necesitaremos, pues, ser capaces de transformar las variables X “normales” N(µ,σ) que encontremos, en variables Z que sigan una distribución normal estándar N(0,1). Este proceso de llevar cualquier distribución normal a una N( 0 , 1 ) se llama “tipificación de la variable”.
Para tipificar X (o sea, transformarla en Z), el primer paso es “centrar” la variable; es decir, hacer que la media µ sea 0.
El siguiente paso es conseguir que la desviación típica σ sea 1.
Por tanto, para tipificar una variable lo que hemos de hacer es restar la media y dividir por la desviación típica.
Ejemplo 1: X →N( 8 , 1.5). Calcula P[ X < 6]
y para terminar y calcular la probabilidad, aplicamos lo que viene a continuación. Con esto lo que hemos hecho es simplemente tipificar la variable transformando la probabilidad pedida en una relacionada con la normal N ( 0 , 1 ).
A partir de ahora nos centramos en la distribución normal N( 0 , 1 ) y vamos a ver cómo calcular probabilidades en ella. Para distinguir, siempre que hagamos referencia a una variable N(0,1), vamos a expresarla con la letra Z.
P [ Z ≤ a ] con ” a ” un número positivo.
Un concepto asociado a cualquier distribución de probabilidad es el de Función de Distribución. La función de distribución en un punto se define como la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales a él. Así, la función de distribución en el punto “a”, que representaremos por F(a), será :
F(a) = P [ X ≤ a].
La siguiente escena muestra la función de distribución de la variable Z → N( 0 , 1 ) para valores positivo de Z. Desplazando el punto rojo obtienes el valor del área bajo la curva que representa la probabilidad P [ Z ≤ a ]
Calcula las siguientes probabilidades a partir de la escena y anota los resultados en tu cuaderno:
- P [ Z ≤ 0.5]
- P [ Z ≤ 1.24]
- P[ Z < 2.5 ]
- P[ Z < 0 ]
- P[ Z ≤ 2.98]
- P[ Z ≤ 4]
- F( 0.82)
Existen tablas de la función de distribución de esta variable N(0,1). A continuación, se muestra la tabla con sus valores.
Por ejemplo, si quiero calcular P [ Z ≤ 2.43 ], tenemos que buscar 2.4 en las filas y 0.03 en las columnas y vemos que en esa cuadrícula lo que aparece es .9925, por tanto, P [ Z ≤ 2.43 ] = 0.9925
Ejercicio: Calcula las probabilidades anteriores a partir de la tabla y comprueba que sale lo mismo que con la escena.
P [ Z > a ] con “a ” un número positivo
Aplicando las propiedades de la probabilidad, basta ver que ” Z > a” es el suceso complementario a ” Z ≤ a “. Por tanto P [Z > a ] = 1 – P [ Z ≤ a ], y esta última la calculamos utilizando las tablas.
Por ejemplo: P[ Z > 1.83 ] = 1 – P [ Z ≤ 1.83 ] = 1 – 0.9664 = 0.0336
P [ Z ≥ 0.49 ] = 1 – P [ Z < 0.49 ] =1 – 0.6879 = 0.3121
P [ Z ≤ – a ]
La probabilidad que queremos calcular es la zona coloreada en celeste.
Modificando el control ” valor de -z”, observa en la escena de la izquierda que en cada momento, la zona celeste es igual a la zona amarilla debido a la simetría de la distribución normal y por tanto P[ Z < – a ] = P [ Z > a ]
En la parte de la derecha puedes ver lo que hemos comentado anteriormente, la zona amarilla es igual a 1 – zona verde que es lo que aparece en las tablas.
Por tanto, P[ Z < -a ] = P [ Z > a ] = 1 – P [ Z ≤ a ]
P [ Z < – a ] = 1 – P [ Z ≤ a]
Ejemplo : P [ Z ≤ -1.37 ] = P [ Z > 1.37] = 1 – P [ Z ≤ 1.37] = 1- 0.9147 = 0.0853
P [ Z < -0.04] = 1 – P [ Z < 0.04 ] = 1- 0.5160 = 0.484
P [ Z > – a ]
Aplicando las propiedades de la probabilidad, tenemos que: P [ Z > – a] = 1 – P [ Z ≤ – a ] = 1 – ( 1 – P [ Z < a ] ) = P [ Z < a ].
Luego P [ Z > -a] = P [ Z < a ].
Ejemplo : P [ Z ≥ – 1.14] = P [ Z < 1.14] = 0.8729
P [ Z > -3] = P [ Z < 3 ] = 0.9987
Probabilidad en un intervalo; P [ a < Z < b ]
Vamos a ver ahora cómo calcular probabilidades de intervalos (z1, z2); es decir, P(z1<Z<z 2).
Queremos calcular la probabilidad del intervalo (z1, z2), que está marcada en la figura B, pero en la tabla sólo aparecen probabilidades del tipo: P(Z ≤ z 0)
Dale distintos valores a z1 y a z2 y observa los gráficos. Busca la manera de calcular la probabilidad P(z1≤ Z ≤z2) a partir de las probabilidades que conocemos P(Z ≤ z0 )
P [ a < Z < b ] = P [ Z < b] – P [ Z < a ]